三　磁场的环路定理

1.安培环路定理的说明

说明安培环路定理的思路：首先我们计算一个简单的实例——以无限长直导线为圆心的任意圆形环路的磁场环量。然后将这一结果作推广——认为任意情形下磁场的环量都满足特例的结果。这一结果称为安培环路定理。(严格的推证可参考《电动力学》郭硕鸿，高等教育出版社　p16~p18)

例：以无限长直导线为圆心的任意圆形环路的磁场环量计算

解：无限长通电直导线产生的磁感应强度为：

　　　　　　　　

讨论：A.当电流沿相反方向流动时，上式成为：

　　　　　

即，磁场的环路定理与电流的方向有关，规定电流的方向与环路的方向满足右手螺旋法则时，为正方向，否则，为负方向。

B.上式结果中与距离R没有关系，容易证明，对图中任意闭合回路，上述结论也成立。

2.安培环路定理

　　将上述结论推广，可以得到关于磁场通量的环路定理

推广：对任意电流产生磁场沿闭合回路的环量，均满足安培环路定理：

讨论：A. 磁场是无源有旋场。

　　　B. I方向正负的判定，当I的方向与环路的方向满足右手螺旋法则时，I取正。

　　　C. 利用安培环路定理求解磁感应强度，与利用电场中的高斯定理求解电场强度一样，必须满足：高度对称性，待求点应在所选环路上。

　　　D. 安培环路定理中，I是穿过以环路为边界的面的电流。而B则是环路内外所有电流产生的总的

　　　　　磁感应强度的矢量和。

3.安培环路定理的应用举例

例：求解半径为R，流有均匀电流I的圆柱体产生的磁场分布

解：考虑到圆柱电流产生磁场的对称性，选取以圆柱轴线为中心的圆形回路。

柱内磁场分布

因：　　　　于是：　

柱外磁场分布　　　　

例：求解载流螺线环产生的磁场分布

解：由电流分布的对称性，显然，与螺线环共轴的圆周上的磁感应强度相等，选取与螺线环共轴的圆周

　为积分回路，有：

环管内磁场分布：　　　　　　　

在螺线环管外：　　　　　　　

结论：在密绕的螺线环外，不存在磁场分布，磁场只分布在螺线环管内部。

当螺线环的横切面积很小时，螺线环内的磁场可以近似看作为均匀磁场。

例：在半径为R的长直金属圆柱体内部挖去一个半径为r的长直圆柱体，两柱体轴线平行，其间距为a，

如图，今在此导体上通以电流I，电流在截面上均匀，则空心部分轴线上O¢点的磁感应强度的大小为：

(A) 　　　　　　(B)

(C) 　　　 (D)

答：(C)对。通过O¢以O为中心作圆形安培环路设想将挖去的部份分别补上面电流密度都是流向相反的电流，这与原来等效。而与I流向相同的部份与I构成一个完整的圆柱形电流，相反的部份在O¢处产生的场强为零。则：可得(C)。

例：无限大均匀载流（面电流密度为）平面两侧的磁感应强度的大小

　　(1) 试根据长直电流的磁场公式，用积分法得出结果。

　　(2) 试根据安培环路定理得出结果。

解：(1) 取载流平面的截面，y轴和z轴在平面上，x轴垂直于平面，如图所示。电流方向为z轴方向，将截面分成无穷多个线电流元jdy，对于每一个jdy将有一关于z轴对称的线电流元，二者

在所求点处的在x方向上抵消，因此只有y分量：

(2) 根据(1)中的分析，面两侧的磁力线如图所示，作安培环路L，则：

故：