三 角动量定理、角动量守恒定律的应用
例：如图，一细绳穿过光滑水平桌面上的小孔O，绳的一端系有一质量为m的小球并放在桌面上；另一端用力往下拉住。设开始时小球以角速度w0 绕孔O 作半径r 的匀速圆周运动,现在向下缓慢拉绳，直到小球作圆周运动的半径为r/2时止。
求：这一过程中拉力的功。
解：小球所受的力中，重力和桌面的支持力抵消，只有绳的拉力影响小球的运动。这个拉力的作用线通过O点，对O点的力矩为零，故小球在运动中对o点的角动量守恒，于是有
由动能定理，拉力的功为：
例：如图，粗糙的水平桌面上，有一长为2L、质量为m的匀质细杆，可绕通过其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴O自由
转动，杆与桌面间的摩擦系数为µ，起初杆静止。桌面上有两个质量均为m的小球，各自在垂直于杆的方向上，正对着杆的一端，以相同的速率v相向运动，并与杆的两端同时发生完全非弹性碰撞(设碰撞时间极短)。
求：(1)两小球与杆刚碰后，这一系统的角速度为多少？
(2)杆经多少时间停止转动？(不计两小球重力造成的摩擦力矩)
解：(1)对杆和两小球组成的系统：由于有摩擦外力矩的存在，
碰撞过程中好象角动量不守恒。但由于碰撞时间极短，摩擦外力矩与杆和两小球碰撞过程中的内力矩比较起来，完全可以忽略，系统角动量仍守恒。
其中 
解得
(2)摩擦力矩为
由 w= wo+bt 得：
例：匀质园盘(m、R)与一人(m/10,视为质点)一起以角速度wo
绕通过其盘心的竖直光滑固定轴转动，如果此人相对于盘以速
率v、沿半径为R/2的园周运动(方向与盘转动方向相反),
求:(1)圆盘对地的角速度
(2)欲使园盘对地静止，人相对园盘的速度大小和方向？
解：系统：圆盘+人。
(1).外力(重力和轴的支撑力)对转轴的力矩为零，所以系统角 动量守恒，于是有：
错误！
角动量守恒定律只适用于惯性系。
所以应用角动量守恒求解问题时，应代入人相对于惯性系(地面)的角速度。
解出
(2) 欲使盘静止，可令
得
负号表示人的运动方向与wo方向一致。
例：如图，两个均匀圆柱各自绕其中心轴转动，转轴相互平行。各自质量、半径分别为M1、M2、
R1、R2，开始时各自的角速度分别为w1、w2，现将它们缓慢移近使之接触。
求：两圆柱在它们相互间摩擦力作用下所达到的最终角速度。
解：最终状态一定是：两圆柱表面没有相对滑动且以相反角速度的运动，角速度大小满足：
(线速度大小相等)
由角动量定理：
考虑到圆柱的转动惯量： 
联立求解上述方程组得： 
讨论：A.如果将两圆柱看作为一个系统，那么，这个系统的角动量守恒吗？为什么？
B.连接条件
，在求解问题中往往很重要。
例：有心力是指物体所受作用力指向同一固定点(如万有引力、静电作用力等)。
证明：(1).在有心力作用下运动的物体，角动量守恒
(2).所有有心力都是保守力，因而在有心力场中运动的质点机械能守恒
(3).在与距离成平方反比的有心力场中隆格－楞茨矢量：
守恒
(4).平方反比中心力场中质点的运动一定满足开普勒运动
证明：(1).由于质点只受到有心力作用，因而所受合外力矩为零，角动量守恒。
(2).设质点受到的有心力指向坐标原点
于是：
，
其中：
为单位矢量，
，
质点在有心力作用下沿任意路径运动过程中，有心力所作的功：
即：有心力是保守力，其作功只与质点状态有关，因而，也可以引入势能：
，例引力势能：
将有心力作用下的所有物体看作为一个物体系，那么，该物体系只受到保守力——有心力的作用，因而，系统的机械能应当守恒。
(3).如果有心力是平方反比力，令：
，其中，k为常数。
考察：
即：
或 
＝常数，守恒。
(4).为证明平方反比中心力场中质点的运动一定满足开普勒运动，考察：
另一方面： 
联立求解上述两个方程得： 
(1)
其中： 
，
(2)
(1)、(2)表明，质点的运动正是极坐标下的圆锥曲线方程(当e<1时，为椭圆方程)。一旦证明了开普勒第一定律，要证明开普勒后两个定律，就十分方便了。
如：单位时间扫过的面积，只需计算：
即：单位时间扫过的面积也是守恒量。
讨论：平方反比的有心力场作用是一种重要而特殊的运动，在角动量守恒问题中，经常用到本题
的结论，因而，本题实际给出了这种力的特殊性质，可作为定理使用。
说明：A.求解平方反比力场问题通常用到开普勒三个定律以及上面例题的结论，希总结。
B.值得强调的是引力势能的定义和重力势能的定义相差一负号，理由是各自选择的零点势能的
位置是不一样的。这一点，必须引起重视。