三　驻波

1.驻波的相干条件：振幅相同、频率相同、振动方向相同、在同一条直线上反向传播。

2.驻波的形成及数学表达式

设两列满足驻波条件的相干波分别为：

　　　

于是，合成波为：　

讨论：(1).振幅分布规律：

　　　A.振幅只与空间位置有关，与时间无关。即对一确定的空间位置，振幅是一定的。

　　　B.当，即时，，。此时对应的坐标点点称为波幅。相邻波幅的距离为：。

　　　　当，即时，，。此时对应的坐标点点称为波节。相邻波节的距离为：。

　　　(2).相位分布规律：每一波节两侧的质点振动的相位相反，相邻两波节之间的质点振动相位相同。

因　　　　　

当时，。即相邻两波节之间的质点振动相位相同。

当时，。即每一波节两侧的质点振动的相位相反。

　　　(3).驻波的能量：由形成驻波的条件可知，驻波并不传递能量。

　　　(4).半波损失的概念

对于绳子的固定端，该点的入射波与反射波在此处形成的驻波只能是波节。由振动的合成可知，该点的入射波与反射波的相位一定相差半个周期或半个波长。称该点有的相位突变现象为半波损失。

对绳子的自由端，入射波与反射波没有相位突变，或不构成驻波波节。因此，没有半波损失。

一般情况下，入射波与反射波是否存在半波损失，取决于介质密度、波速、入射角等因素。

在垂直入射情况下，当波传递的介质的波阻(，即介质的密度与波速的乘积)远小于介质分界面的波阻时，入射波完全被反射而无透射，从而在反射点形成驻波节点。此时存在半波损失。反之，则没有半波损失。

对于两端固定绳子上形成的驻波，由于在两个端点必须是驻波节点，因而，可能的驻波波长必须满足：

　　　　或　　　　　　　　　　　　

即：可能的驻波必须是某一基波的整数倍。n=1的频率称为基频，其它的波称为谐波。所有这些振动称为简正振动。所有的频率构成弦振动的本征频率。

当外界激发频率等于振动系统的本征频率时，就会引起驻波，这种现象也称为共振。

例：波源位于O点处，振动方程为：，在处的Q点有一反射墙壁。

求：(1).沿x轴正向、负向传播的波动方程

(2).反射的波动方程

(3).OQ区域内合成波的方程

(4).x>0区域内的合成波动方程

解：(1). 沿x轴正向传播的波动方程

　　　（）

沿x轴正向、负向传播的波动方程

　　　（）

(2).反射的波动方程

入射到Q点的振动方程为：　

考虑到墙壁引起的相位突变，Q点的振动方程为：

　　　　　　　　　　　　　　

故QO区域内反射波的方程为：

在x>0区域内反射波的方程为：

即，反射波波动方程可以统一表示为：　　

(3).OQ区域内合成波的方程

　　　　　　　　

(4).x>0区域内的合成波动方程

　　　　　　　　

例：长为l的绳两端固定，线密度为，张力为T

求：此弦中的振动频率（固有振动的本征频率）

解：弦两端固定，端点应为节点。而驻波相邻两点的距离为的整数倍。于是：

　　而　　

故　　　　

基频为，驻波的情况取决于绳子的长度、密度、张力。

例：假定原子中核外电子绕核的运动遵守某种简谐波的波动规律

求：原子中电子的轨道半径必须满足的条件

解：原子必须是稳定的，由波的干涉情况可知：只有当电子的波形成稳定驻波时，原子才可能稳定。

由驻波条件，轨道周长必须为电子波长的整数倍，于是：。