二、 计算题

1．在 和 的共同表象中，算符 和 的矩阵分别为

， 。

求它们的本征值和归一化本征函数，并将矩阵 和 对角化。

2． 一维运动粒子的状态是

     其中 ，求

（ 1） 粒子动量的几率分布函数；（2）粒子的平均动量。

（利用公式 ）

3． 设在 表象中， 的矩阵表示为

其中 ，试用微扰论求能级二级修正。

4． 在自旋态 中，求 。

5． 和各是厄密算符。试证明， 也是厄密算符的条件是 和 对易。

6． 在动量表象中角动量 的矩阵元和 的矩阵元。

7．求自旋角动量在 方向的投影的本征值和所属的本征函数。

8．转动惯量为 ，电偶极矩为 的空间转子处在均匀电场 中，如果电场很小，用微扰论求转子基态能量的二级修正。

（基态波函数 ，利用公式） 。

9．证明下列关系式：

1． ，       2.

3.  ,        4.

(其中 为角动量算符， ， 为泡利算符， 为动量算符)

10． 设 时，粒子的状态为 ，求此时粒子的平均动量和平均动能。

11． 为厄密算符， （ 为单位算符）， 。（1）求算符 的本征值；（2）在A表象下求算符 的矩阵表示。

12． 已知体系的哈密顿量 ，试求出（1）体系能量本征值及相应的归一化本征矢量。（2）将H对角化，并给出对角化的么正变换矩阵。

13．一质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动，

   ， b为小量，用微扰法求粒子的能级（近似到一级）。

14．证明下列算符的对易关系。

1．

2.设算符 与它们的对易式 对易，即： ，证明：

15．设有两个电子，自旋态分别，   ，证明两个电子处于自旋单态及三重态的几率分别为： 。

16．求自旋角动量在 方向的投影 的本征值和所属的本征函数。

17．由任意一对已归一化的共轭右矢和左矢构成的投影算符 。试证明（1） 是厄密算符；（2）有 ；

（3） 的本征值为0和1。

18． 设在 表象中， 的矩阵表示为 ，其中 ，试用微扰论求能级二级修正。

19．证明下列算符的对易关系：

1．

2.设算符 与它们的对易式 对易，即： ，证明：

20．一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有 两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的

波函数怎样用单粒子波函数构成？

21．求证在 的共同本征态下，角动量沿与z轴成 角的方向 的分量 的平均值为 。

22．证明如算符 有共同的本征函数完备集，则 对易。